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视频中的第一种生物是鹦鹉螺？，具有斐波那契数列生成的螺线。 第二种生物是向日葵，它的花盘中的种子的发散角是137.5°，恰好是圆周的黄金分割。 第三种生物是蜻蜓，没太看明白，似乎是五边形和六边形的镶嵌，就像足球？ 斐波那契数列的后项与前项比是趋向于黄金分割率的。

近读《阿基米德羊皮书》，发现真是牛得一塌糊涂，书中写道了阿基米德用杠杆原理求抛物线形的面积。 如上图所示，求△ACZ的内接抛物线形ABC的面积。 证明中用到的条件是对于任一割线MX有  MX:OX=AC:AX 这个前提似乎不是显然的，显然要用到CZ作为切线的性质，我想不出不用切线方程如何得到这个前提，阿基米德的方法我是复现不了了，书中也没有说明。 即使接受了这个前提，阿基米德的方法依然是出奇的。 延长CK至T，使得KT=CK，平移OX至SH，T为SH中点，则MX:SH=MX:OX=AC:AC=KC:KN=TK:KN, 线段MX和SH关于点K满足杠杆原理。注意到MX，SH的重心分别为T，N， 由于MX的任意性，故△ACZ内部每根AZ的平行线与它在抛物线形ABC内部的对应线段（平移至T）关于点K满足杠杆原理， 即△ACZ的面积与抛物线形ABC的面积关于K满足杠杆原理， △ACZ的重心在KC的1/3处，故抛物线形的重心T到△ACZ的重心的距离之比为3:1, 故抛物线形ABC的面积为△ACZ的面积的1/3,或△ABC面积的4/3。

（为了某课程交差而扯淡的一部分。古人说话喜欢语焉不详，给与后辈扯淡的机会，多少人以此为生啊。） 国人对“高端”数学的认识中，有个不可绕过的“1+1=2”的问题，由于一篇成功的报告文学，陈景润几乎成了中国人眼中的数学之神，而“1+1=2”问题也成了全民的谈资。真正的“1+1=2”问题讨论的是数的素数加法分解，描述起来并不太复杂，但背后的名堂超出了我的数学功底。我想说的是很多人简单的认为这个问题谈的是一个橘子加一个橘子等于两个橘子的问题，甚至有人会觉得数学家无聊，这不是显然么。 其实即使是两个橘子的问题，也是可以大讨论一番的。数的基础认识来自于一个定性分析，有还是没有，有就是一，没有就是零，每个学生学到的第一个数就是一，因为它是定量认识的基石，是一切数数方法的起源，我们可以用老子的“道生一”来形容。第二个概念其实就是“1+1=2”（这个式子似乎还在某年被无聊的英国人评为史上最牛X的公式之一），说的其实是数的后继的概念，用后继的概念，可以产生二和三的概念，老子说“一生二，二生三”，无限制的进行下去，就会产生全体自然数的概念，老子说“三生万物”。 数学归纳法使用的其实正是数数的思想，懂得一，懂得后继，就可以认识全体自然数。数学归纳法分三步，归纳基础（即证明结论关于一的正确性），归纳假设与归纳步骤（即结论证明关于后继的正确性），“一生二，二生三，三生万物”再恰当不过了。 有趣又无奈的是，我们的逻辑认识能力的基础是一和后继，却也限制于此，当年数学家想建立完备的数学逻辑体系的努力被哥德尔不完全定理给粉碎了，他用一定的方法将任一逻辑体系内的所有命题用自然数表示起来，最后发现总会存在在体系内无法证明的命题。像“这句话是假话”的悖论永远无法真正消除。从某种意义上说，我们的认识能力限制在了一和后继上。 总结一句：一部《老子》可以统领宇宙。数学之变诈几何哉，止增笑耳。

整理文件的时候发现一篇台大数学系的科普文“谈公平”，也不知是从哪儿来的。发现也有网页版的在这里。写得还是很有趣的，介绍的是Shapley值的计算，即在多人合作博弈的时候，如何分配的问题。看了之后写一点自己的理解。 Shapley公平三原则，大致可理解为”同工同酬，不劳不获，多劳多得”，由此通过一定的形式化得到的结论大致可理解为“每个成员的分配值是其给该团队带来的边际利润的期望值”，再说得白一点就是你平均能给团队带来多大的利润。 由这个无论如何看起来都公平的理论，我们可以发现当工人几乎注定要被资本家“剥削”的。考虑一个简单的情形，你开了一个小工厂，开始的时候只有你自己干活，一年挣2万块钱，后来雇了一个工人，一年挣了3万块钱，，如果平均分配是每人1.5万，但这样你会觉得还不如不雇人，所以大锅饭是没有前途的，如果把多来的1万快都给工人，你可能还是觉得多此一举，一个隐含的事实是，在这个团队里，如果没有你，你的雇工一分钱都挣不到，所以他的期望值实际上应该是1万的一半，最后的分配结果应该是2.5万：0.5万。如果再请一个工人后，一年挣了4万，根据同工同酬原则，新来的也只能分0.5万，而你可以一年挣3万了。资本家的道路由此开始了。 这个例子告诉我们的道理是，如果你要依靠别人才能挣钱，是一定赚不到多少钱的，只有成为稀缺资源（比如掌握一般人没有的技术成为团队不可缺少的成员）才能得到更多的分配。 在通常的理解中，工人为工厂带来了1万元的收益，得到的工资却只有0.5万元，所以被剥削了0.5万元的剩余价值。可是市场经济其实隐含遵循的是Shapley公平三原则，说白一点就是不能多挣钱，资本家是不会雇用工人的。 其实真正在数学上都不公平的是试图打破”同工同酬，不劳不获，多劳多得”原则的行为，历史与现实都证明搞特权或搞绝对公平是损害劳动积极性的。 个人认为有两个更重要的非数学的公平问题。一是教育的公平，这是起点的公平，使你能在参与团队合作时能够成为稀缺资源的关键，而一旦在这里发生了不公平，则会使得穷人没有翻身之日；二是福利的公平，基于合作与竞争的分配尽管体现了一定的公平性，但不可忽视福利的必要性，这是跳出一个团队（如公司）来看待一个人的价值，人道主义的扶助背后还有着社会整体稳定前进的客观需要。